Точку и прямую мы легко себе представляем, но дать им определение трудно. Это основные понятия геометрии — их не определяют через что-то более простое, а описывают.
Всё, что мы рисуем, — это лишь изображение прямой. Настоящая прямая не имеет толщины и не ограничена ни в одну сторону: она бесконечно продолжается вправо и влево.
Точки B и C лежат на прямой a, точки A и D не лежат на прямой a
Через любые две точки проходит одна и только одна прямая.
Если взять две прямые, то возможны только две принципиально разные ситуации:
Пересекающиеся — есть общая точка A
Параллельные — общих точек нет
Две прямые называются пересекающимися, если они имеют общую точку, и параллельными, если они не пересекаются.
Отметим на прямой две точки A и B. Часть прямой между ними — это отрезок.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.
Оба конца равноправны, поэтому один и тот же отрезок можно назвать и AB, и BA — это одно и то же.
Как начертить длинный отрезок короткой линейкой? Помогает та же аксиома: через две точки проходит единственная прямая.
Отметим на прямой одну точку O. Она разбивает прямую на две части.
Луч — часть прямой, ограниченная только с одной стороны. Точка, которая его ограничивает, называется началом луча.
Точка O задаёт два луча — они называются дополнительными: вместе составляют всю прямую
Обозначить луч можно двумя способами:
Угол — это два луча, выходящих из одной точки. Общая точка — вершина угла, а лучи — стороны угла.
Угол AOB: вершина O, стороны — лучи OA и OB
Угол обозначают знаком ∠. Записать его можно двумя способами:
Неразвёрнутый угол делит плоскость на две части: внутреннюю область угла (между сторонами) и внешнюю.
Если из вершины провести луч внутри угла, он разобьёт угол на два меньших угла. Так из одного угла можно получить сколько угодно меньших.
Луч OC делит ∠AOB на два угла: ∠AOC и ∠COB
Если обе стороны угла лежат на одной прямой, угол всё равно остаётся углом: есть вершина и есть два луча, выходящих из неё.
Развёрнутый угол — угол, стороны которого лежат на одной прямой (это дополнительные лучи).
Как проверить, что две фигуры равны? «На глаз» — ненадёжно: фигуры могут стоять рядом, а могут находиться за тысячу километров друг от друга. Нужен точный критерий.
Две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
Совпали при наложении — фигуры равны; не совпали — не равны
Сравнивают не сами фигуры, а их длины (для отрезков) и величины (для углов). Приём тот же — наложение.
Накладываем отрезок CD на отрезок AB так, чтобы точка C совпала с A и отрезки пошли в одну сторону.
Отрезок CD целиком поместился внутри AB, и ещё остался кусочек. Значит, CD < AB.
Накладываем один угол на другой так, чтобы совпали вершины и по одной стороне.
Жёлтый угол ∠2 целиком поместился внутри ∠1 — значит, ∠2 < ∠1.
У отрезка и у угла есть по «замечательному» элементу, который делит их пополам.
Середина отрезка — точка отрезка, которая делит его на два равных отрезка.
C — середина AB: AC = CB. Равные отрезки помечают одинаковыми штрихами
Биссектриса угла — луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
Чтобы измерить отрезок, нужен эталон — единичный отрезок. Это может быть метр, сантиметр, аршин, верста — что угодно, лишь бы было удобно. Длина отрезка показывает, сколько раз единичный отрезок укладывается в измеряемом.
Длина отрезка — это расстояние между его концами.
Равные отрезки имеют равные длины. Из двух отрезков меньше тот, у которого длина меньше.
Главное свойство измерения — целое состоит из своих частей:
Отсюда сразу видно: AC < AB и CB < AB — каждая часть меньше целого.
В тетради хватает обычной линейки (15–25 см). Для больших расстояний берут рулетку или портновский метр. На местности используют дальномер: прибор посылает луч и по нему определяет расстояние.
Величину угла измеряют в градусах. Договорились, что развёрнутый угол равен ровно 180°.
Значит, 1° — это 1/180 часть развёрнутого угла. Градус тоже делится на части:
Для углов работает то же правило «целое состоит из частей». Если луч OC проходит внутри ∠AOB, то:
Угол на чертеже измеряют транспортиром: центр прибора совмещают с вершиной угла, нулевую отметку — с одной из сторон, и смотрят, на какое деление попала вторая сторона.
Транспортир
Проведём биссектрису развёрнутого угла — она разделит 180° пополам, получится угол в 90°. От него и отсчитывают все остальные виды.
Острый — меньше 90°
Прямой — ровно 90°
Тупой — больше 90°, но меньше 180°
В тетради угол меряют транспортиром, а на местности и в астрономии нужны другие приборы — геодезические и астрономические. Один из старинных приборов такого рода называется астролябия.