Кубы — 7 класс

1Сумма и разность кубов

Похожие формулы существуют и для кубов — только раскладывают сразу на множители, без промежуточного раскрытия:

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

•x³ − 27 = (x − 3)(x² + 3x + 9)

Проверка подстановкой x = 1: слева 1 − 27 = −26. Справа (1 − 3)(1 + 3 + 9) = (−2) · 13 = −26 — совпадает.

Выражения (a² − ab + b²) и (a² + ab + b²) называют неполным квадратом разности и суммы. Название объясняется сравнением с обычным квадратом:

Полный квадрат: (a ± b)² = a² ± 2ab + b² — коэффициент при ab равен 2
Неполный квадрат: a² ∓ ab + b² — коэффициент при ab равен 1, поэтому «неполный»

Как и с квадратами, нужно понять, что возвели в куб:

•8x³ + 1

8x³ — это (2x)³, а 1 — это 1³. Значит a = 2x, b = 1, и по формуле суммы кубов:

8x³ + 1 = (2x + 1)(4x² − 2x + 1).

Убедиться, что разложение верное, можно, подставив любое число вместо x в обе части и сравнив результат:

•Проверка примера из раздела 3 при x = 1

Слева: 8 · 1³ + 1 = 9. Справа: (2 · 1 + 1)(4 · 1² − 2 · 1 + 1) = 3 · 3 = 9 — совпадает.

💡 Если хотя бы один знак в разложении перепутан, подстановка почти всегда это сразу покажет — числа не совпадут.

Сумма и разность кубов, неполный квадрат, распознавание формулы