Степени с натуральным показателем

1Что такое степень

aⁿ означает, что число a умножается само на себя n раз. Число a называют основанием, число n — показателем степени.

5⁴ = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 (−6)³ = (−6) · (−6) · (−6) = −216

Здесь рассматриваются только натуральные показатели — целые положительные числа 1, 2, 3 и так далее.

2Свойства степеней

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ — при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (m > n) — при делении показатели вычитаются
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ — при возведении степени в степень показатели перемножаются
(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ — степень произведения раскладывается на произведение степеней
(a ÷ b)ⁿ = aⁿ ÷ bⁿ — то же самое для частного

1Умножение и деление

2³ · 2² = 2³⁺² = 2⁵ = 32. Проверка: 8 · 4 = 32 — сходится.

3⁵ ÷ 3² = 3⁵⁻² = 3³ = 27. Проверка: 243 ÷ 9 = 27 — сходится.

2Степень степени, произведения и частного

(2²)³ = 2²ˣ³ = 2⁶ = 64. Проверка: (2²)³ = 4³ = 64 — сходится.

(2 · 3)² = 2² · 3² = 4 · 9 = 36. Проверка: 6² = 36 — сходится.

(4 ÷ 3)² =

4²3²

=

169

3Знак степени

Знак результата зависит от знака основания и чётности показателя:

Положительное основание в любой степени — всегда положительный результат
Отрицательное основание в чётной степени — положительный результат
Отрицательное основание в нечётной степени — отрицательный результат
Ноль в любой натуральной степени — всегда 0

•Приём: сначала знак, потом число

(−3)⁴ = 81 — показатель 4 чётный, минусы попарно уничтожаются: (−3)·(−3)·(−3)·(−3).

(−3)⁵ = −243 — показатель 5 нечётный, один минус остаётся без пары: −3⁵ = −243.

💡 Быстрее не расписывать все множители, а сразу определить знак по чётности показателя, а потом просто вычислить 3⁵ = 243 и поставить нужный знак.

4Комбинированные вычисления и уравнения на показатель

В одном выражении может встретиться сразу несколько свойств степени подряд — применяем их по очереди.

•Цепочка из двух правил

2³ · 2⁵2⁴

= 2³⁺⁵⁻⁴ = 2⁴ = 16

Сначала сложили показатели в числителе (умножение), потом вычли показатель знаменателя (деление).

•Уравнение на показатель

3²ˣ = 3¹⁰. Раз основания одинаковые, показатели должны совпадать: 2x = 10, значит x = 5.

💡 Бонус-факт: аᵏ ÷ aᵏ по формуле деления даёт a⁰, а с другой стороны — любое число, поделённое само на себя (кроме 0), всегда равно 1. Значит a⁰ = 1 при a ≠ 0. Подробно про нулевой и отрицательный показатель — тема 8 класса, здесь это только на заметку.

1Что такое степень

2Свойства степеней

3Знак степени

4Комбинированные вычисления и уравнения на показатель

Тренажёр: Степени