Ответом на неравенство обычно служит не одно число, а целый набор чисел — числовой промежуток. Его записывают через скобки, и тип скобки показывает, входит ли граница в ответ.
Линейное неравенство решают почти как уравнение: переносят слагаемые, приводят подобные. Но есть одно важное отличие:
3x − 6 > 0
3x > 6
Делим на 3 (положительное число) — знак остаётся: x > 2.
Ответ: (2; +∞)
−2x + 8 ≤ 0
−2x ≤ −8
Делим на −2 (отрицательное число) — знак меняется на противоположный: x ≥ 4.
Ответ: [4; +∞)
Чтобы решить неравенство вида ax² + bx + c > 0 (или <, ≤, ≥), сначала находят корни соответствующего уравнения ax² + bx + c = 0 — так же, как в теме «Квадратные уравнения». Затем отмечают корни на числовой прямой и смотрят, куда направлена парабола:
x² − x − 6 > 0: a = 1 > 0
Корни: D = 1 + 24 = 25, x₁ = −2, x₂ = 3.
Неравенство строгое (> 0) и парабола-«улыбка» — нужны участки СНАРУЖИ корней, где она выше оси.
Ответ: (−∞; −2) ∪ (3; +∞)
−x² + 2x + 3 ≥ 0: a = −1 < 0
Корни того же уравнения: D = 4 + 12 = 16, x₁ = −1, x₂ = 3.
Неравенство нестрогое (≥ 0) и парабола-«горка» — нужен участок МЕЖДУ корнями, где она выше оси, включая сами корни.
Ответ: [−1; 3]
Если у уравнения ax² + bx + c = 0 дискриминант отрицательный, у параболы нет точек пересечения с осью x — она целиком выше оси (если a > 0) или целиком ниже (если a < 0). Тогда знак выражения один и тот же при любом x.
D = 4 − 20 = −16 < 0, a = 1 > 0 — парабола целиком выше оси, выражение всегда положительно.
Ответ: x — любое число
Если несколько неравенств объединены в систему (должны выполняться одновременно), ответ — это пересечение (общая часть) всех промежутков.
x > 1 и x ≤ 5 одновременно
Первое неравенство даёт (1; +∞), второе — (−∞; 5]. Пересечение — общая часть обоих промежутков.
Ответ: (1; 5]
Промежутки, линейные и квадратные неравенства, метод интервалов