Раньше степень с натуральным показателем означала «умножить число само на себя n раз». Чтобы это понятие заработало и для отрицательных чисел в показателе, математики договорились о двух определениях:
(здесь a ≠ 0 — на ноль делить нельзя)
(−2)⁻³ = 1/(−2)³ = 1/(−8) = −1/8, а не 1/8!
Показатель −3 — нечётный, а нечётная степень отрицательного числа отрицательна. Знак минус никуда не девается.
Хорошая новость: все привычные правила действий со степенями остаются верными и для отрицательных (и нулевого) показателей — не нужно запоминать что-то новое.
2³ · 2⁻⁵ = 2³⁺⁽⁻⁵⁾ = 2⁻² = 1/4
(2⁻²)³ = 2⁻²ˣ³ = 2⁻⁶ = 1/64
Из определения a⁻ⁿ = 1/aⁿ следует удобный приём: множитель с отрицательным показателем можно «перевесить» из числителя в знаменатель (или обратно), сменив знак показателя на противоположный.
Множитель x⁻² «переехал» бы в знаменатель как x² — но он там уже почти был, поэтому по факту меняются местами и знаки, и этажи дроби: минус в показателе у числителя переносит множитель вниз, минус в показателе у знаменателя — наверх.
Отрицательные показатели степени особенно полезны для записи очень больших и очень маленьких чисел — их записывают в стандартном виде:
47 000 = 4.7 × 10⁴
0.00047 = 4.7 × 10⁻⁴
Определения, свойства степени, стандартный вид числа