Квадратные уравнения — 8 класс

1Что такое квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — какие-то числа, причём a не может быть равно нулю (иначе x² просто исчезнет, и уравнение перестанет быть квадратным).

•Пример: 3x² − 5x + 2 = 0

a = 3 b = −5 c = 2

a — число перед x², b — число перед x, c — число само по себе, без буквы.

2Дискриминант

Чтобы найти корни уравнения, сначала считают дискриминант — число, которое подсказывает, сколько у уравнения решений:

D = b² − 4ac

D > 0 — два корня: x = (−b ± √D) / (2a)
D = 0 — один корень: x = −b / (2a)
D < 0 — корней нет

1D > 0 — два корня

x² − x − 6 = 0: a=1, b=−1, c=−6

D = (−1)² − 4·1·(−6) = 1 + 24 = 25

x = (1 ± 5) / 2 → x₁ = 3, x₂ = −2

2D = 0 — один корень

x² − 6x + 9 = 0: a=1, b=−6, c=9

D = (−6)² − 4·1·9 = 36 − 36 = 0

x = 6 / 2 = 3

3D < 0 — корней нет

x² + 2x + 5 = 0: a=1, b=2, c=5

D = 2² − 4·1·5 = 4 − 20 = −16

⚠️ Дискриминант отрицательный — извлечь из него арифметический корень нельзя, значит уравнение не имеет решений.

3Теорема Виета

Если уравнение уже приведённое (a = 1), то есть имеет вид x² + px + q = 0, корни можно иногда подобрать быстрее, чем считать дискриминант:

x₁ + x₂ = −p

x₁ · x₂ = q

•Пример: x² − 7x + 12 = 0

Здесь p = −7, q = 12. По теореме Виета сумма корней равна 7, а произведение — 12.

Подбираем: 3 + 4 = 7 и 3 · 4 = 12 — подходит! Значит x₁ = 3, x₂ = 4.

💡 Теорема Виета особенно удобна, когда корни — небольшие целые числа: их можно быстро подобрать в уме, не считая дискриминант.

Тренажёр: Квадратные уравнения

Дискриминант, формула корней, теорема Виета

→