Уравнение называют дробным рациональным, если переменная стоит в знаменателе хотя бы одной дроби. Если переменная встречается только в числителях или вообще без дробей — уравнение целое.
Во втором уравнении x стоит в знаменателе (x − 1) — из-за этого оно и называется дробным.
На ноль делить нельзя. Поэтому прежде чем решать дробное уравнение, нужно найти все значения x, при которых какой-нибудь знаменатель обращается в ноль, и сразу их исключить — это и есть ОДЗ (область допустимых значений).
Для уравнения
Для уравнения
Если уравнение имеет вид пропорции (дробь = дробь), его можно решить крест-накрест: если
то a · d = b · c. Если дробей больше двух, вместо этого умножают обе части на общий знаменатель, как при сложении дробей.
Решим уравнение из раздела 2: ОДЗ уже нашли — x ≠ 1.
Крест-накрест: 3 · 2 = 1 · (x − 1), то есть 6 = x − 1, откуда x = 7.
Сверяем с ОДЗ: 7 ≠ 1 — подходит. Ответ: x = 7.
ОДЗ: знаменатель (x − 4) не может быть равен нулю, значит x ≠ 4.
Крест-накрест: (x − 3)(x − 4) = 2, раскрываем скобки: x² − 7x + 12 = 2, то есть x² − 7x + 10 = 0.
По теореме Виета: x₁ + x₂ = 7, x₁ · x₂ = 10 — подходят 2 и 5.
Сверяем с ОДЗ: и 2, и 5 не равны 4 — оба подходят. Ответ: x₁ = 2, x₂ = 5.
Когда после избавления от знаменателей уравнение решено, среди найденных корней иногда попадается значение, которое как раз исключено в ОДЗ. Такой корень называют посторонним — его отбрасывают и не включают в ответ, даже если формально он получился из верных вычислений.
ОДЗ: оба знаменателя не равны нулю, значит x ≠ 2 и x ≠ −2.
Общий знаменатель (x − 2)(x + 2). Умножаем на него всё уравнение:
Корни: x₁ = 2, x₂ = −6.
Сверяем с ОДЗ: x = 2 — как раз исключённое значение, это посторонний корень, его отбрасываем. А x = −6 не запрещён. Ответ: x = −6.
ОДЗ, крест-накрест, посторонние корни