Рациональные дроби

1Что такое рациональное выражение

Рациональное выражение — это выражение, где числа и буквы соединены знакомыми действиями: сложением, вычитанием, умножением и делением. Проще говоря — это почти любое выражение с буквами, которое вам встречалось раньше, только теперь в нём может появиться деление на выражение с буквой.

3x + 7 5a² − 2a

x + 1x − 3

8xyy + 2

2Целые и дробные выражения

Все рациональные выражения делятся на два вида — смотрим, есть ли буква в знаменателе (внизу дроби):

Рациональные выражения

Целые

буквы в знаменателе нет (или знаменателя нет вообще)

3x + 7 5a² − 2a

x5

Дробные

в знаменателе есть буква

x + 1x − 3

8y + 2

💡 Обратите внимание на x5 выше — это тоже дробь, но она целая, потому что внизу просто число 5, без буквы. Дело именно в букве в знаменателе, а не в дроби как таковой.

3Область определения

Область определения дроби — это все значения переменной, при которых дробь вообще имеет смысл.

⚠️ Главное правило: на 0 делить нельзя. Значит, знаменатель никогда не может равняться нулю.

Пример:

5x − 3

→ знаменатель x − 3 не должен быть равен 0

Значит x − 3 ≠ 0, то есть x ≠ 3. Область определения — все числа, кроме 3.

4Основное свойство дробей

Если числитель и знаменатель дроби умножить (или разделить) на одно и то же число или выражение, не равное нулю — значение дроби не изменится.

ab

=

a · kb · k

(где k ≠ 0)

5Сокращение дробей

Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя на их общий множитель (используем как раз основное свойство дробей выше). Разберём на примерах.

1Просто числа

1218

=

6·26·3

=

23

Ищем общий множитель чисел 12 и 18 — это 6. Делим обе части на 6.

2С буквами

62x 93xy

=

23y

Общий множитель — 3x. Сокращаем сразу: 6÷3=2, 9÷3=3, а x полностью уходит и сверху, и снизу.

3Целая скобка сокращается

5·(x + 4)(x + 4)

= 5

Здесь общий множитель — целая скобка (x + 4). Она есть и сверху, и снизу — сокращаем её полностью.

4Сначала выносим общий множитель

6x + 123

=

62(x + 2) 31

= 2(x + 2)

Сначала выносим общий множитель в числителе: 6x + 12 = 6(x + 2). Теперь сокращаем 6 и 3 на 3: 6÷3=2, 3÷3=1.

5Раскладываем по формулам

a² − 25a² − 10a + 25

a² − 25 = (a − 5)(a + 5)

a² − 10a + 25 = (a − 5)²

(a − 5)² = (a − 5)(a − 5)

(a − 5)(a + 5) (a − 5)(a − 5)

=

a + 5a − 5

Числитель — разность квадратов, знаменатель — квадрат разности. Разворачиваем квадрат в произведение двух одинаковых скобок и сокращаем одну из них сверху и снизу.