Важно различать корень в уравнении и арифметический квадратный корень — это не одно и то же, хотя обозначаются они похоже.
Уравнение x² = 9 отвечает на вопрос «какое число в квадрате даёт 9?». Подходят сразу два числа:
Ведь и 3² = 9, и (−3)² = 9.
А вот запись √9 — это уже не уравнение, а число, и договорились считать его всегда неотрицательным. Поэтому √9 = 3, а не −3, хотя (−3)² тоже даёт 9.
Так как арифметический корень никогда не бывает отрицательным, график функции y = √x лежит только там, где y ≥ 0 — это ровно половина параболы, «положенной на бок».
Начинается в точке (0, 0) и растёт вправо-вверх, но всё медленнее — ветка никогда не спускается ниже оси x.
Корень «дружит» с умножением и делением — его можно раскладывать на множители или собирать обратно:
(здесь a ≥ 0, b > 0)
Если под корнем стоит выражение, возведённое в квадрат, результат — это модуль этого выражения, а не само выражение:
А не −5! Возведение в квадрат «съедает» минус, и корень его обратно не возвращает — результат всегда неотрицательный.
Складывать и вычитать можно только одинаковые корни — они ведут себя как обычные слагаемые с одной и той же «буквой».
Как 2y + 5y = 7y — просто складываем числа перед корнем, сам корень не трогаем.
Выражение √5 + √7 нельзя упростить и записать одним корнем — так и остаётся суммой.
Если разложить число под корнем на множители, из него можно вынести точный квадрат:
После такого упрощения выражение иногда становится похоже на соседний корень, и их уже можно сложить.
Свойства корня, упрощение, сложение