Преобразования графиков

1Вертикальный сдвиг y = f(x) + b

Если к функции прибавить число b, весь график сдвигается вдоль оси y: вверх на |b|, если b > 0, и вниз на |b|, если b < 0. Форма графика при этом не меняется — просто каждая точка "переезжает" на b единиц по вертикали.

Область определения D(f) при вертикальном сдвиге не меняется — x-координаты точек остались прежними. А область значений E(f) сдвигается вместе с графиком: если было [−3; 3], станет [−3+4; 3+4] = [1; 7].

2Горизонтальный сдвиг y = f(x + a)

Здесь легко ошибиться: несмотря на знак "+" перед a внутри скобки, график сдвигается в противоположную сторону от знака a — влево, если a > 0, и вправо, если a < 0.

Почему так: пусть g(x) = f(x + a). Точка, где раньше было f(x₀) = y₀, теперь окажется на новом графике там, где x + a = x₀, то есть при x = x₀ − a. Значит каждая точка сдвигается по x на −a: при a > 0 это сдвиг влево.

Область значений E(f) при горизонтальном сдвиге не меняется (y-координаты точек те же), а область определения D(f) сдвигается по тому же правилу: было [−4; 2], стало [−4−3; 2−3] = [−7; −1].

3Комбинированный сдвиг y = f(x + a) + b

Оба сдвига можно применить одновременно — тогда каждая точка (x; y) исходного графика переходит в точку (x − a; y + b). Порядок, в котором "сдвигать сначала по x, потом по y" или наоборот, значения не имеет — результат один и тот же.

4Сдвиг параболы y = x²

Тот же принцип работает для любой функции, включая параболу y = x². Если сдвинуть её так, чтобы вершина оказалась в точке (x₀; y₀), формула сдвинутой параболы — y = (x − x₀)² + y₀. Это сдвиг по x на x₀ вправо (обратите внимание на знак "минус" перед x₀ — это и есть сдвиг вправо, симметрично правилу из раздела 2) и по y на y₀.