Построение параболы по алгоритму — 9 класс

1Алгоритм построения параболы

Чтобы построить график y = ax² + bx + c быстро и без угадывания точек, достаточно пяти шагов:

Найти вершину: x₀ = −b / (2a), затем y₀ = f(x₀) — подставить x₀ в формулу
Провести ось симметрии — вертикальную прямую x = x₀, парабола зеркальна относительно неё
Определить направление ветвей по знаку a: вверх при a > 0, вниз при a < 0
Построить таблицу значений — взять несколько x по обе стороны от x₀ на одинаковом расстоянии и вычислить y для каждого
Отметить точки и соединить их плавной линией — не ломаной, парабола нигде не имеет углов

2Полный пример: y = x² − 4x + 3

Здесь a = 1, b = −4, c = 3.

1Вершина и направление

x₀ = −b / (2a) = −(−4) / 2 = 2. y₀ = f(2) = 2² − 4·2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1. Вершина (2; −1).

a = 1 > 0, значит ветви направлены вверх. Ось симметрии: x = 2.

2Таблица значений

Берём x на одинаковом расстоянии от x₀ = 2 в обе стороны:

x = 0 → y = 3; x = 1 → y = 0; x = 2 → y = −1 (вершина); x = 3 → y = 0; x = 4 → y = 3.

Значения слева и справа от вершины совпадают — это и есть симметрия параболы относительно оси x = 2.

Вершина в точке (2; −1), ветви вверх

3Пример с ветвями вниз: y = −x² + 2x + 3

Здесь a = −1, b = 2, c = 3. x₀ = −2 / (2·(−1)) = 1. y₀ = f(1) = −1 + 2 + 3 = 4. Вершина (1; 4).

a = −1 < 0, значит ветви направлены вниз.

Вершина в точке (1; 4), ветви вниз

💡 Таблица значений тоже симметрична: x = −1 → y = 0; x = 0 → y = 3; x = 1 → y = 4 (вершина); x = 2 → y = 3; x = 3 → y = 0.

4Дополнительные ориентиры

Если точек из таблицы недостаточно, можно найти ещё две удобные точки:

Пересечение с осью y — подставить x = 0: y = c. Для y = x² − 4x + 3 это y = 3, то есть точка (0; 3)
Пересечение с осью x — решить уравнение ax² + bx + c = 0 (через дискриминант или теорему Виета — этот способ уже разобран в теме «Квадратные уравнения»). Для x² − 4x + 3 = 0 корни x = 1 и x = 3

Оба ориентира совпадают с точками из таблицы примера раздела 2 — это не совпадение: x-пересечения и y-пересечение всегда лежат на графике, просто их удобно находить отдельно, если таблица не попала на "красивые" числа.

Тренажёр: Построение параболы

Вершина, ось симметрии, таблица значений, x- и y-пересечения

→