Последовательность — это набор чисел, расположенных по какому-то определённому правилу (не хаотично). Арифметическая прогрессия — частный случай, где каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа:
(d — разность прогрессии)
Здесь a₁ = 5, а разность d = 3 (каждый следующий член на 3 больше предыдущего).
Чтобы не складывать d много раз подряд, есть формула n-го члена — она сразу даёт любой член прогрессии по его номеру:
a₅ = a₁ + (5 − 1)d = 5 + 4 · 3 = 5 + 12 = 17 — совпадает с тем, что мы видим в самой последовательности.
У арифметической прогрессии есть удобное свойство: любой член (начиная со второго) равен среднему арифметическому своих соседей.
a₃ = 11, a₅ = 17. Среднее арифметическое: (11 + 17) / 2 = 14 — и правда, a₄ = 14.
Сумму первых n членов прогрессии можно найти по одной из двух формул — они всегда дают одинаковый ответ:
По первой формуле: S₅ = (5 + 17) / 2 · 5 = 11 · 5 = 55.
По второй формуле: S₅ = (2 · 5 + 4 · 3) / 2 · 5 = (10 + 12) / 2 · 5 = 11 · 5 = 55.
Оба способа дают один и тот же ответ: 55.
В геометрической прогрессии первый член b₁ не равен нулю, а каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число:
(q — знаменатель прогрессии)
Здесь b₁ = 3, а знаменатель q = 2 (каждый следующий член в 2 раза больше предыдущего).
Формула n-го члена работает так же, как в арифметической прогрессии, только вместо сложения — умножение:
b₄ = b₁ · q³ = 3 · 2³ = 3 · 8 = 24 — совпадает с последовательностью.
Сумму первых n членов геометрической прогрессии находят по формуле:
S₄ = b₁ · (q⁴ − 1) / (q − 1) = 3 · (16 − 1) / (2 − 1) = 3 · 15 = 45.
Проверим сложением напрямую: 3 + 6 + 12 + 24 = 45 — сходится.
Если уже известен последний нужный член bₙ, удобнее другая форма той же формулы:
S₄ = (b₄ · q − b₁) / (q − 1) = (24 · 2 − 3) / (2 − 1) = (48 − 3) / 1 = 45.
Тот же самый ответ: 45.
Разность, знаменатель, n-й член, суммы прогрессий