Любую текстовую задачу решают в три этапа — это называют математическим моделированием:
Катер прошёл 24 км по течению реки и 24 км обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения — 2 км/ч. Найдите собственную скорость катера.
Пусть x — собственная скорость катера (км/ч). По течению катер идёт со скоростью (x + 2), против течения — (x − 2).
После умножения на общий знаменатель и приведения подобных получаем 5x² − 48x − 20 = 0.
D = 48² + 4 · 5 · 20 = 2304 + 400 = 2704 = 52². Корни: x₁ = (48 + 52) / 10 = 10, x₂ = (48 − 52) / 10 = −0.4.
Собственная скорость не может быть отрицательной — x₂ = −0.4 отбрасываем как не имеющий смысла. Ответ: 10 км/ч.
Здесь работает одна главная формула — расстояние равно скорость умножить на время:
Удобно оформлять условие таблицей с колонками «Расстояние», «Время», «Скорость» — для каждого участника или участка пути отдельная строка.
Из двух городов, расстояние между которыми 300 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями 60 км/ч и 90 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
Когда объекты движутся навстречу друг другу, их скорости складываются: общая скорость сближения — 60 + 90 = 150 км/ч.
t = S / v = 300 / 150 = 2 часа.
Количество чистого вещества в растворе находят так: долю (процент, переведённый в десятичную дробь) умножают на массу всего раствора.
(p — концентрация в процентах, m — масса раствора)
Смешали 20 кг раствора с концентрацией соли 15% и 30 кг раствора с концентрацией 10%. Сколько килограммов соли в получившейся смеси?
В первом растворе соли: 0.15 · 20 = 3 кг. Во втором: 0.10 · 30 = 3 кг.
Всего соли в смеси: 3 + 3 = 6 кг.
Здесь та же логика, что и в задачах на движение, только вместо скорости — производительность (сколько работы выполняется за единицу времени):
Если два исполнителя работают одновременно, их производительности складываются. Если известно, что первый выполняет всю работу за t₁, а второй — за t₂, то вместе они справятся за время T, где:
Маляр А красит забор за 6 часов, маляр Б — за 3 часа. За сколько часов они покрасят забор, работая вместе?
За час маляр А красит
Значит весь забор они покрасят за 2 часа.
Движение, сплавы и смеси, работа и производительность